応用問題(受験対策)

2018.10.15
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応用力クリップ

算数・数学の入試問題で多くの人を悩ませる問題と言えば、応用問題ですよね。しかし、この応用問題にも種類があることはご存知ですか?一口に応用問題と言っても、レベルによって実は3つの種類に分類することができます。

1つ目は「基本的な応用問題」。矛盾しているようですが、応用問題の多くはこれにあたります。簡単に言えば、教科書に解き方・考え方が載っている文章問題です。定期テストではもちろん、入試問題でも問われることが多いです。定期テストで「応用問題が解けなかった」という子の多くは、この「基本的な応用問題」ができていません。これが応用問題入門編です。考え方さえ身に付けてしまえばパターンが決まっているので、努力次第で誰でも解けるようになります。頑張りましょう。

2つ目は「発展問題」。今までの基本的な応用問題の考え方を複合的に使う問題がこれにあたります。教科書や問題集では、章末問題等の名前で載っていることが多いです。定期テストでも10~20%出ますが、入試問題ではメインはこの問題と言ってもいいでしょう。入試においては、この問題の出来が合否を分けます。「定期テストでは点数が取れるけど、模試(実力問題)では点数が取れない」という子の多くは、この「発展問題」ができていません。ハッキリと言えば、先ほどの「基本的な応用問題」は暗記でも出来るようになります。ですが、この「発展問題」は暗記しただけでは点数を取れません。これが解けない原因はたった1つで、「基本的な応用問題」の理解不足です。解けるだけでは理解したとは言えません。なぜその式ができるのか、その式の1つ1つはそれぞれ何を表しているのか、ちゃんと説明できますか?試しに友達に説明してみましょう。それが「発展問題」ができるようになるための第一歩です。

3つ目は「数学的思考力を問う問題」です。中学校受験、私立高校トップ校、上位大学の入試問題で出題されます。これらの入試では、この問題が合否を分けることもあります。定期テストで出ることはほぼありません。算数・数学を生活の中に取り入れたり、公式の本来の意味を考えさせたり、その問題のタイプは多種多様です。実は教科書にも「コラム」としてちょっと載っていたりもしますが、レベルが高く、いわゆる算数・数学が得意な子向けの内容です。この問題を解けるようになるには➀「発展問題」レベルの問題でも挑める状態であること、➁多くの問題に触れ、多くの解き方に触れること、➂この問題を算数・数学の問題と捉えないこと、この3つが大事です。➀は言わずもがなですね。➁はまずこのタイプの問題は定期テストでも扱われることがないため、そもそも見たことがないという子が多いです。だからこそ多くの問題を見せ、考えさせることが大事です。その時に、その子の考え方を尊重して「その考え方だとどう解くことができるか」を教えてあげること、解答に載っているいわゆる「ふつうはどう解くか」を教えてあげること、そして「自分ならどう解くか」を教えてあげること、が重要になります。このタイプの問題は、正解の出し方は何パターンも何十パターンもあります。教える側がそれを理解し、その子に合った解き方を見せてあげることにより、少しずつ数学的思考力というものが付いていきます。そして意外と大事なのが➂です。「算数・数学の問題だからとりあえず公式使ってみよう」と考えていると、深みにはまって解けないことが多いです。このタイプの問題は、なぞなぞやクイズの類だと思ってください。算数・数学的に考えるのではなく、自分の今までの経験を通して普通に考えてみると、苦手な子でも意外と解けたりするものです。この問題が解けるようになると、考え方が広がります。多くの問題に触れて、色々な視点を持てるようにしましょう。

応用問題にも色々な種類があります。自分がどこで躓いているかを知れば、次のステップに行くために必要なことも見えてきますね。最後に解りやすいように、みんな大好き割合の問題で問題例を載せておきます。小学生向けですが、レベル3は高校生でも数学的思考力がないと解けません。参考にしてみてください。

レベル0「基本問題」
5000円の7割は(    )円です。(    )にあてはまる数を入れましょう。

レベル1「基本的な応用問題」
定価5000円の商品が3割引きで売られています。
(1)この商品の代金はいくらでしょうか。
(2)一万円札を出してこの商品を買うと、おつりはいくらでしょうか。

レベル2「発展問題」
ある品物を5000円で仕入れ、仕入れ値の30%の利益を見込んで定価をつけました。しかし売れなかったため、この商品を定価の10%引きで売ることにしました。
(1)この商品の売り値はいくらですか。
(2)この商品が売れると、お店の利益はいくらになりますか。

レベル3「数学的思考力を問う問題」
太郎君の家の近くにはA店,B店,C店の3つのパン屋さんがあります。どのお店も定価は同じで、メロンパンは定価150円、カレーパンは定価200円です。今日はどのお店も特売日で、いつもより安い値段でパンを買うことができます。A店では、全品30円引きセールをしています。B店では、合計で10個以上パンを買うと定価の20%引きで売ってくれます。C店では、全品10%引きで、さらにパンを6個買うごとにメロンパンを1つ無料でもらうことができます。太郎君はおつかいを頼まれ、パンを買いに行くことになりました。今日は親せきが集まるので、メロンパンが20個、カレーパンが10個必要です。
(1)1つのお店だけでパンを買う場合、どのお店でどのように買うと一番安くなりますか。
(2)(1)の方法をおじいちゃんに話すと「もう少し安くなる方法があるから、2人で分かれて買いに行こう」と言われました。2つのお店でパンを買う場合、どのお店でどのように買うと一番安くなりますか。またその方法で買うと、(1)の方法で買うよりもいくら安くなりますか。

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